El precio Forward (también conocido como tasa Forward) es el acuerdo sobre el precio de un activo en un contrato de Forwards. De acuerdo a la asunción del precio racional (rational pricing), para un contrato de Forwards sobre un activo subyacente que es negociable o transaccionable, podemos expresar el precio Forward en términos del precio spot y cualquier dividendo y/o cargo o costo financiero durante el periodo. Para los Forwards no transaccionales, el cálculo del precio resulta una tarea más compleja.
Fórmula del Precio Forward
Si el activo subyacente es transaccionable, el precio Forward es calculado mediante la siguiente fórmula:
Donde:
F: es el precio Forward que debe ser pagado en el tiempo o periodo T.
ex: es la función exponencial (empleada para calcular los intereses compuestos).
r: es la tasa de interés libre de riesgo.
q: el cost of carry.
S0: es el precio spot del activo, es decir el precio al cual sería comprado o vendido de forma inmediata en la fecha actual en una transacción spot (en el momento 0)
Di: es un dividendo que tiene la garantía de que va a ser pagado en el momento o periodo ti donde 0<ti<T.
Prueba de la fórmula del precio Forward
Las dos preguntas en este caso son las siguientes:
- ¿Cuál es el precio al cual la posición short (el vendedor del activo) debe ofrecer su producto para maximizar la ganancia?
- ¿Cuál es el precio al cual la posición long (el comprador del activo) debe aceptar el producto para maximizar la ganancia?
Lógicamente ninguno de los dos quiere perder dinero en la transacción. La posición short sabe tanto como sabe la posición long: las posiciones short/long están ambas al tanto de cualquier esquema en los cuáles podrían participar para obtener una ganancia para un precio Forward dado.
Por lo tanto, ambas partes tienen que acordar un precio justo o de lo contrario la transacción no ocurrirá.
Una articulación económica sería:
(precio justo + valor futuro de los dividendos del activo) – precio spot del activo = costo de capital
Precio Forward = Precio Spot – cost of carry
El valor futuro de los dividendos de un activo (esto también podría ser cupones de los bonos, renta mensual de una casa, fruta de un cultivo, etc) se calcula mediante la fuerza de interés libre de riesgo . Esto se debe a que se está ante una situación libre de riesgo (el punto o razón principal del contrato de Forwards es eliminar el riesgo o al menos reducirlo),por lo tanto ¿Por qué querría el poseedor del activo correr cualquier riesgo? El podría reinvertir a la tasa libre de riesgo (por ejemplo en los bonos U.S. T-bills que se consideran libres de riesgo).
El precio spot del activo es simplemente el valor en el mercado en el instante en el tiempo en que el contrato de Forwards es acordado y «activado». Por lo tanto, la Ganancia Neta = Salida – Entrada y esta ganancia puede venir únicamente del costo de oportunidad de tener ese activo por ese periodo de tiempo (el inversor también pudo haberlo vendido e invertido el dinero a la tasa libre de riesgo).
De esta manera, tenemos:
- K = Precio justo
- C = Costo de capital
- S = Precio spot del activo
- F = Valor futuro del dividendo del activo
- I = Valor presente de F (descontado usando r )
- r = Tasa de interés libre de riesgo compuesta de forma continua.
- T = Periodo de tiempo desde el momento en que el contrato fue acordado y activado.
Resolviendo para el precio justo y sustituyendo variables obtenemos lo siguiente:
-K = C + S – F
Donde:
-C= S(erT – 1)
(dado que erT = 1 + j donde j es la tasa efectiva de interés por periodo de tiempo de T )
-F= c1er(T-t1) +…+ cner(T-tn)
donde ci es el dividendo i th pagando en el momento o periodo t i.
Después de efectuar ciertas reducciones finalizamos con lo siguiente:
-K= (S – I)erT
Podemos notar que en la derivación anterior se asume que el activo subyacente puede ser transaccionado. No obstante esta asunción no puede aplicarse para ciertos tipos de Forwards.
Precios de Forwards vs Precios de Futuros
Existe una diferencia entre los precios de Forwards y los precios de Futuros cuando las tasas de interés son estocásticas. Esta diferencia desaparece cuando las tasas de interés son determinísticas.
En el lenguaje de los procesos estocásticos, el precio Forward es un martingala bajo la medida Forward, mientras que el precio del Futuro es un martingala bajo la medida de riesgo neutral. La medida Forward y la medida de riesgo neutral son las mismas cuando las tasas de interés son determinísticas.
Pueden obtener más información sobre el tema investigando acerca de métodos Martingala en los mercados financieros para periodos de tiempo continuos o modelos binomiales en finanzas para periodos de tiempo discretos.
